МИО "Звезда"
Разбор задач
Объяснение решений задач отборочного этапа
базовой части "Техники и технологий"
базовой части "Техники и технологий"
Задача №1 (20 баллов).
На районном туре олимпиады по математике 15% участников не решили ни одной задачи, 144 участника решили задачи с ошибками. Отношение количества участников верно решивших все задачи к количеству участников, которые не решили ни одной задачи, равно 5:3. Сколько человек участвовало в районной олимпиаде?
Решение задачи №1.
Убираем всё ненужное: На районном туре олимпиады по математике 15% участников не решили ни одной задачи, 144 участника решили задачи с ошибками. Отношение количества участников верно решивших все задачи к количеству участников, которые не решили ни одной задачи, равно 5:3. Сколько человек участвовало в районной олимпиаде?
1. Получаем сырые данные:
2. Мы знаем, что 15% решили ни одной, тогда исходя из пропорции находим сколько учеников решили все задачи:
Убираем всё ненужное: На районном туре олимпиады по математике 15% участников не решили ни одной задачи, 144 участника решили задачи с ошибками. Отношение количества участников верно решивших все задачи к количеству участников, которые не решили ни одной задачи, равно 5:3. Сколько человек участвовало в районной олимпиаде?
1. Получаем сырые данные:
- 15% ни одной,
- 144 с ошибками,
- все задачи:ни одной задачи = 5:3.
2. Мы знаем, что 15% решили ни одной, тогда исходя из пропорции находим сколько учеников решили все задачи:
3. Все задачи решили 25% учеников, ни одной — 15%. Тогда находим сколько учеников решили с ошибками: 100% - 25% - 15% = 60%
4. Мы знаем, что с ошибками решило 144 ученика, тогда 144 = 60%. С помощью пропорции находим 100%:
4. Мы знаем, что с ошибками решило 144 ученика, тогда 144 = 60%. С помощью пропорции находим 100%:
Получаем ответ: всего участвовало 240 человек.
Задача №2 (20 баллов).
Петя нарисовал окружность, отметил 8 точек на окружности и соединил каждую точку со всеми остальными точками отрезками. Сколько всего отрезков нарисовал Петя?
Решение задачи №2.
Чистим ненужное: Петя нарисовал окружность, отметил 8 точек на окружности и соединил каждую точку со всеми остальными точками отрезками. Сколько всего отрезков нарисовал Петя?
Первый способ решения:
2. Возьмём одну точку, от неё исходит 7 отрезков до других семи точек.
3. Возьмём другую, от неё отходит тоже 7 отрезков, но один мы уже посчитали, следовательно уже только 6 новых отрезков.
4. Возьмём третью, тоже 7 отрезков, два (один из первой точки, второй — из второй) уже проведены, следовательно новых только 5.
И так далее... Получаем количество новых отрезков для каждой точки:
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 13 + 9 + 5 + 1 = 22 + 6 = 28 отрезков
Второй способ решения:
Чистим ненужное: Петя нарисовал окружность, отметил 8 точек на окружности и соединил каждую точку со всеми остальными точками отрезками. Сколько всего отрезков нарисовал Петя?
Первый способ решения:
2. Возьмём одну точку, от неё исходит 7 отрезков до других семи точек.
3. Возьмём другую, от неё отходит тоже 7 отрезков, но один мы уже посчитали, следовательно уже только 6 новых отрезков.
4. Возьмём третью, тоже 7 отрезков, два (один из первой точки, второй — из второй) уже проведены, следовательно новых только 5.
И так далее... Получаем количество новых отрезков для каждой точки:
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 13 + 9 + 5 + 1 = 22 + 6 = 28 отрезков
Второй способ решения:
- Общее количество отрезков выходящих из каждой точки равно 7•8=56 (семь отрезков для каждой точки).
- Но каждый из отрезков посчитан два раза (например, из первой в пятую и из пятой в первую).
Задача 3 (20 баллов).
Известно, что на некоторой планете ускорение свободного падения на 50% меньше, чем на Земле. На сколько процентов должна отличаться масса тела, находящегося на этой планете, от массы тела, находящегося на Земле, для того, чтобы их силы тяжести были одинаковыми?
Решение задачи №3.
Чистим ненужное: Известно, что на некоторой планете ускорение свободного падения на 50% меньше, чем на Земле. На сколько процентов должна отличаться масса тела, находящегося на этой планете, от массы тела, находящегося на Земле, для того, чтобы их силы тяжести были одинаковыми?
1. Нужно знать формулу F = m*g, чтобы решить эту задачу. g — ускорение свободного падения на Земле.
2. Спрашивается процентное соотношение массы тела на какой-то планете к земле, чтобы силы были одинаковыми. Сразу ставим задачу: m1/m2 =? если F1=F2 (сила всегда обозначается буковкой F)
3. На 50% меньше, то есть в два раза меньше (из дано). Следовательно, масса должна быть в два раза больше, чтобы силы были равны и ускорение свободного падения в было два раза меньше.
Чистим ненужное: Известно, что на некоторой планете ускорение свободного падения на 50% меньше, чем на Земле. На сколько процентов должна отличаться масса тела, находящегося на этой планете, от массы тела, находящегося на Земле, для того, чтобы их силы тяжести были одинаковыми?
1. Нужно знать формулу F = m*g, чтобы решить эту задачу. g — ускорение свободного падения на Земле.
2. Спрашивается процентное соотношение массы тела на какой-то планете к земле, чтобы силы были одинаковыми. Сразу ставим задачу: m1/m2 =? если F1=F2 (сила всегда обозначается буковкой F)
3. На 50% меньше, то есть в два раза меньше (из дано). Следовательно, масса должна быть в два раза больше, чтобы силы были равны и ускорение свободного падения в было два раза меньше.
Так как масса должна быть в 2 раза больше, то есть на 100% больше, то ответ — на 100%.
Задача №4 (20 баллов).
Расстояние L=120 км автомобиль проехал за время T=2 часа. Его скорость на первом, хорошем участке пути была на 5 км/ч больше средней скорости, а на втором, плохом участке, на 5 км/ч меньше средней скорости. Какова длина хорошего участка пути?
Решение задачи №4.
Убираем ненужное: Расстояние L=120 км автомобиль проехал за время T=2 часа. Его скорость на первом, хорошем участке пути была на 5 км/ч больше средней скорости, а на втором, плохом участке, на 5 км/ч меньше средней скорости. Какова длина хорошего участка пути?
1. Находим среднюю скорость = 120/2 = 60 км/ч (средняя скорость = всё расстояние / всё время)
2. Рассуждаем дальше: всё расстояние = хороший участок (скорость 65 км/ч) + плохой участок (со скоростью 55 км/ч)
3. Всё время = это время на хорошем участке (расстояние хорошего участка/скорость) + время на плохом участке (расстояние плохого участка / скорость)
4. Расстояние плохого участка = 120 км (общее расстояние) — длина хорошего участка
В дальнейших вычислениях x — длина хорошего участка:
Убираем ненужное: Расстояние L=120 км автомобиль проехал за время T=2 часа. Его скорость на первом, хорошем участке пути была на 5 км/ч больше средней скорости, а на втором, плохом участке, на 5 км/ч меньше средней скорости. Какова длина хорошего участка пути?
1. Находим среднюю скорость = 120/2 = 60 км/ч (средняя скорость = всё расстояние / всё время)
2. Рассуждаем дальше: всё расстояние = хороший участок (скорость 65 км/ч) + плохой участок (со скоростью 55 км/ч)
3. Всё время = это время на хорошем участке (расстояние хорошего участка/скорость) + время на плохом участке (расстояние плохого участка / скорость)
4. Расстояние плохого участка = 120 км (общее расстояние) — длина хорошего участка
В дальнейших вычислениях x — длина хорошего участка:
Знаменатели равны, так как числители и дроби равны:
Теперь осталось посчитать x.
Важно: никогда не перемножайте раньше времени. Вдруг удастся сократить :)
Важно: никогда не перемножайте раньше времени. Вдруг удастся сократить :)
Ответ: 65 км. Для перепроверки можно подставить в формулу в начале задачи
Решение задачи №1.
Чтобы найти общие точки для графиков фукций f(x) и g(x) их нужно приравнять и выразить x.
Заметим сразу, что в первой функции x в знаменателе, то есть x ≠ 0.
Как только мы обозначили х ≠ 0, мы можем домножать на него. И получим квадратичную функцию:
Чтобы найти общие точки для графиков фукций f(x) и g(x) их нужно приравнять и выразить x.
Заметим сразу, что в первой функции x в знаменателе, то есть x ≠ 0.
Как только мы обозначили х ≠ 0, мы можем домножать на него. И получим квадратичную функцию:
Чтобы было две точки пересечения, D > 0 (про график квадратичной функции можно почитать здесь)
Получаем ответ: -6
Задача №2 (20 баллов).
В равнобедренную трапецию с длинами оснований 8 и 18 см вписана окружность.
Найдите её радиус (в см).
Найдите её радиус (в см).
Суммы противоположных сторон равны — вот что должно всплыть в памяти, как только появляется вписанная окружность в четырёхугольнике.
Одна боковая сторона = 26/2 = 13, так как сумма оснований = 8 + 18 = 26 и трапеция равнобедренная.
Диаметр окружности = высоте трапеции*. Значит нам нужно найти высоту
Одна боковая сторона = 26/2 = 13, так как сумма оснований = 8 + 18 = 26 и трапеция равнобедренная.
Диаметр окружности = высоте трапеции*. Значит нам нужно найти высоту
*Два радиуса (образующих диаметр), проведённых к основаниям им перпендикулярны и лежат на одной прямой, так как у трапеции основания параллельны, а радиус проведенный к касательной ей перпендикулярен
Отсюда следует, что высота трапеции равна диаметру окружности
Отсюда следует, что высота трапеции равна диаметру окружности
Проведём две высоты из концнов верхнего основания. Тогда нижнее основание разделится на 3 части: одна равна верхнему основанию, а две других равны между собой. Найдём одну эту часть = (18 - 8) / 2 = 5. У нас получился прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза = боковая сторона, нижний катет = 5 см, а другой катет = высота
По теореме пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
По теореме пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Так как высота равна диаметру, то диаметр тоже равен 12 см. А радиус равен половине диаметра, тогда радиус = 6 см.
Ответ: 6 см
Ответ: 6 см
Задача №3 (20 баллов).
На систему из двух взаимно перпендикулярных зеркал падает
тонкий луч света. Угол падения на первое зеркало - 50°. На сколько градусов
необходимо повернуть второе зеркало, чтобы угол падения луча на него был равен 70°?
тонкий луч света. Угол падения на первое зеркало - 50°. На сколько градусов
необходимо повернуть второе зеркало, чтобы угол падения луча на него был равен 70°?
Решение задачи №3.
1. Вспомни, что угол падения равен углу отражения.
2. Нарисуем, как это выглядит.
3. Так как зеркала перпендикулярны, то и перпендикуляры в точки падения светового луча так же будут перпендикулярны
4. Получаем прямоугольный треугольник. Один угол нам известен – 50°.
5. Найдём угол, под которым луч падает на второе зеркало:
180° - 90° - 50° = 40°
6. Так как нужен угол падения в 70°, то нужно повернуть на 70° - 40° = 30°
Ответ: 30°
1. Вспомни, что угол падения равен углу отражения.
2. Нарисуем, как это выглядит.
3. Так как зеркала перпендикулярны, то и перпендикуляры в точки падения светового луча так же будут перпендикулярны
4. Получаем прямоугольный треугольник. Один угол нам известен – 50°.
5. Найдём угол, под которым луч падает на второе зеркало:
180° - 90° - 50° = 40°
6. Так как нужен угол падения в 70°, то нужно повернуть на 70° - 40° = 30°
Ответ: 30°
Задача №4 (20 баллов).
Зависимость скорости автомобиля от пройденного пути при
равноускоренном прямолинейном движении определяется выражением v = √(s + 16).
Определите его ускорение и начальную скорость. Все данные в единицах СИ.
равноускоренном прямолинейном движении определяется выражением v = √(s + 16).
Определите его ускорение и начальную скорость. Все данные в единицах СИ.
Решение задачи №4.
Нужно знать формулу расстояния через скорость, начальную скорость и ускорение
Нужно знать формулу расстояния через скорость, начальную скорость и ускорение
1. Выражаем v через S, v0 и a
2. Смотрим на то, что нам дано и соотносим, что
S = 2Sa, то есть a = 0,5
v02 = 16, и тогда v0=4
Ответ: a = 0,5 м/с2, v0=4 м/с
2. Смотрим на то, что нам дано и соотносим, что
S = 2Sa, то есть a = 0,5
v02 = 16, и тогда v0=4
Ответ: a = 0,5 м/с2, v0=4 м/с
Задача №1 (20 баллов).
Расстояние между посёлками А и В равно 15 км. Из А в В в 8 ч 30
мин утра со скоростью 4 км/ч отправился господин N. На следующий день в 10 часов
утра он отправился в обратный путь и шёл со скоростью 5 км/ч. Каждый раз господин
проходил мимо Дуба, стоящего у дороги, в одно и то же время. Сколько км от посёлка А
до Дуба? Ответ запишите в км.
мин утра со скоростью 4 км/ч отправился господин N. На следующий день в 10 часов
утра он отправился в обратный путь и шёл со скоростью 5 км/ч. Каждый раз господин
проходил мимо Дуба, стоящего у дороги, в одно и то же время. Сколько км от посёлка А
до Дуба? Ответ запишите в км.
Решение задачи №1.
- Пусть расстояние от посёлка А до Дуба = х
- Тогда расстояние от В до Дуба = 15 - х
- Известно, что в первый день господин вышел из А в сторону В в 8 с половиной часов утра. То есть время, в которое он дошёл до Дуба, = 8,5 + x/4 (расстояние делить на скорость)
- На следующий день он вышел обратно в 10 утра, и время, когда он дошёл до Дуба, = 10 + (15-х)/5
- Так как время в обоих случаях одно и то же, тогда приравниваем и получаем уравнение:
Возрастание функции — увеличение значения функции при увеличении аргумента (чем больше x, тем больше y)
Убывание функции — уменьшение значения функции при увеличении аргумента (чем больше x, тем меньше y)
1. Функция 4x+1 возрастающая, функция √(4x+1) тоже возрастает
2. Аналогично возрастает и √(x+2)
3. И так как эти функции возрастают, то и функция от их суммы тоже будет возрастающей (√(4x+1)+√(x+2))
4. Но так как они стоят в знаменателе*, то функция 10/(√(4x+1)+√(x+2)) (та, которая нам дана) будет убывать
5. Из выше сказанного делаем вывод, что наименьшее значение функции будет при наибольшем аргументе.
6. Наибольшее значение аргумента = 2, так как нам дан отрезок от 1 до 2 включительно.
7. Подставляем x = 2 в уравнение и получаем y = 2
Ответ: 2.
Убывание функции — уменьшение значения функции при увеличении аргумента (чем больше x, тем меньше y)
1. Функция 4x+1 возрастающая, функция √(4x+1) тоже возрастает
2. Аналогично возрастает и √(x+2)
3. И так как эти функции возрастают, то и функция от их суммы тоже будет возрастающей (√(4x+1)+√(x+2))
4. Но так как они стоят в знаменателе*, то функция 10/(√(4x+1)+√(x+2)) (та, которая нам дана) будет убывать
5. Из выше сказанного делаем вывод, что наименьшее значение функции будет при наибольшем аргументе.
6. Наибольшее значение аргумента = 2, так как нам дан отрезок от 1 до 2 включительно.
7. Подставляем x = 2 в уравнение и получаем y = 2
Ответ: 2.
*Можно привести аналогию с y = x и y = 1/x. Первая возрастает, вторая убывает
Задача №3 (20 баллов).
Предмет располагается на расстоянии 20 см от тонкой собирающей линзы. После того, как предмет передвинули на 5 см к линзе, оказалось, что расстояние от линзы до изображения осталось прежним.
Определите фокусное расстояние линзы в см.
Определите фокусное расстояние линзы в см.
Чтобы найти фокусное расстояние линзы, сначала надо вспомнить формулу оптической силы линзы.
Изображение во втором случае будет мнимым, если мы пододвинули предмет, а расстояние осталось прежним. Тогда в формуле перед 1/f будет стоять знак минус
Изображение во втором случае будет мнимым, если мы пододвинули предмет, а расстояние осталось прежним. Тогда в формуле перед 1/f будет стоять знак минус
Формула оптической силы линзы
F — фокусное расстояние
f —расстояние от линзы до изображения
d — расстояние от объекта до линзы
f —расстояние от линзы до изображения
d — расстояние от объекта до линзы
Так как слева в обоих выражениях стоит 1/F, то левые части можно приравнять. Находим расстояние от линзы до изображения (f)
И теперь находим F:
Ответ: 17,1 см
Задача №4 (20 баллов).
Груз на пружине совершает колебания с частотой 5 Гц. Какой
станет частота колебаний, если пружину обрезать наполовину?
станет частота колебаний, если пружину обрезать наполовину?
Если мы обрежем пружину наполовину, то её жёсткость увеличится вдвое, исходя из формулы k = F/L, где L — длина пружины, F — сила, применяемая к ней, k — жёсткость. Если длина уменьшится вдвое, то жёсткость увеличится вдвое
Далее, исходя из формулы частоты колебаний пружинного маятника, если жёсткость пружины увеличиться в 2 раза, то частота колебаний увеличится в √2 раза: 5*√2 ≈ 5*1,4 ≈ 7 (Гц)
Ответ: 7 Гц
Далее, исходя из формулы частоты колебаний пружинного маятника, если жёсткость пружины увеличиться в 2 раза, то частота колебаний увеличится в √2 раза: 5*√2 ≈ 5*1,4 ≈ 7 (Гц)
Ответ: 7 Гц
Формула частоты колебаний пружинного маятника
T — период колебаний
v — частота колебаний
k — жёсткость пружины
m — вес груза
v — частота колебаний
k — жёсткость пружины
m — вес груза