Дроби
Давайте делиться знаниями :)
Дроби приходят на помощь, когда таблица умножения не может помочь. Например, 2 шоколадки поровну на двоих можно поделить. А что, если нужно разделить эти же 2 шоколадки на троих? Как это записать? «Ребята, я с вами больше не дружу, все шоколадки мои» не вариант :)
Обыкновенная дробь
Представим, что мы делим шоколадку между друзьями. Вас пятеро, значит, нужно её разделить поровну между 5 людьми. Тогда каждый получит одну часть из пяти. Именно это и означают дроби. Они выражают количество частей из общей «кучи».
Приведу ещё один пример, пусть у нас есть 37 грядок, засажены только 13 из них. Это означает, что мы разделили на 37 частей и взяли из них 13. Одна часть тогда равно 1/37 (одна из 37), а 13 частей — 13/37 (13 из 37). Знак дроби (горизонтальная черта) означает деление.
Когда результат математического выражения нельзя записать с помощью целых чисел, используют дроби. У каждой дроби есть числитель и знаменатель. Числитель — число, которое делим, знаменатель — число, на которое делим. Можно запомнить, что знаменатель снизу, потому что и в знаменателе и в снизу есть буква з.
Обыкновенная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя. Например, 2/3 или 1/7
Приведу ещё один пример, пусть у нас есть 37 грядок, засажены только 13 из них. Это означает, что мы разделили на 37 частей и взяли из них 13. Одна часть тогда равно 1/37 (одна из 37), а 13 частей — 13/37 (13 из 37). Знак дроби (горизонтальная черта) означает деление.
Когда результат математического выражения нельзя записать с помощью целых чисел, используют дроби. У каждой дроби есть числитель и знаменатель. Числитель — число, которое делим, знаменатель — число, на которое делим. Можно запомнить, что знаменатель снизу, потому что и в знаменателе и в снизу есть буква з.
Обыкновенная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя. Например, 2/3 или 1/7
Неправильная дробь
Неправильная дробь — дробь, числитель которой больше или равен числителю. Пусть у нас будет 8 шоколадок, и мы хотим разделить её между тремя людьми. Тогда мы получим дробь 8/3. Обычно такие дроби не оставляют в таком виде. Но об этом мы поговорим чуть попозже :)
Любые целые числа можно представить в виде неправильной дроби: 2 это 2/1, 13 это 13/1 и так далее (ведь при делении на 1 число даёт само себя)
Любые целые числа можно представить в виде неправильной дроби: 2 это 2/1, 13 это 13/1 и так далее (ведь при делении на 1 число даёт само себя)
Смешанная дробь
Смешанная дробь — дробь, у которой есть целая часть.
Продолжим разбирать тот пример с 8 шоколадками и тремя человечками. Мы можем посчитать, что из 8 шоколадок 6 мы точно сможем разделить поровну (каждый получит по 2). Тогда остаётся вопрос: что делать с оставшимися 2 шоколадками? Записать их в виде дроби :) Точнее разделить каждую шоколадку на три части и выдать каждому по 2 части (оттуда и 2/3 шоколадки). Сколько тогда получит каждый? 2 целых и 2/3
Продолжим разбирать тот пример с 8 шоколадками и тремя человечками. Мы можем посчитать, что из 8 шоколадок 6 мы точно сможем разделить поровну (каждый получит по 2). Тогда остаётся вопрос: что делать с оставшимися 2 шоколадками? Записать их в виде дроби :) Точнее разделить каждую шоколадку на три части и выдать каждому по 2 части (оттуда и 2/3 шоколадки). Сколько тогда получит каждый? 2 целых и 2/3
Сокращение дробей
Один из важных навыков работы с дробями — сокращение. Однажды научившись сокращать, вы сэкономите себе миллионы минут расчётов. Для этого нужно хорошо владеть таблицей умножения.
Допустим, мы собрались в турпоход и закупились чаем. У нас есть 50 пакетиков чая и всего 15 человек. Тогда мы будем считать следующую дробь: 50/15. Посмотрим, сможем ли мы упростить расчёты: 50 это 5 умножить на 10, а 15 — это 5 умножить на 3. Мы можем разбить людей на 5 групп, каждая из которых будет делить 10 пакетиков на троих людей. То есть и числитель, и знаменатель мы сократили на 5. Получаем следующее:
Допустим, мы собрались в турпоход и закупились чаем. У нас есть 50 пакетиков чая и всего 15 человек. Тогда мы будем считать следующую дробь: 50/15. Посмотрим, сможем ли мы упростить расчёты: 50 это 5 умножить на 10, а 15 — это 5 умножить на 3. Мы можем разбить людей на 5 групп, каждая из которых будет делить 10 пакетиков на троих людей. То есть и числитель, и знаменатель мы сократили на 5. Получаем следующее:
Можем считать, что каждый человек получит 3 целых и 1/3 пакетика чая. Если считать, что на одну чашку приходится один пакетик, то каждый выпьет по 3 целых и ещё 1/3 кружки чая.
Умножение дроби на число
Когда мы хотим увеличить количество вещей для деления мы умножаем на число. Например было 2 шоколадки на троих, увеличиваем количество шоколадок на 3, то есть получается 6 шоколадок. Но количество людей не изменилось, значит 2/3 * 3 = (2*3)/3 = 6/3 = 2
Когда дробь умножают на число, умножается только числитель. Стоит отличать сокращение и умножение дроби. При сокращении мы по сути группируем.
Когда дробь умножают на число, умножается только числитель. Стоит отличать сокращение и умножение дроби. При сокращении мы по сути группируем.
Сложение и вычитание дробей
Допустим, друг дал тебе дал половину шоколадки (то есть 1/2 шоколадки). Но он понял, что наелся и отдал тебе ещё одну третью часть шоколадки. Сколько же ты получил частей шоколадки от целой? Для того чтобы складывать и вычитать дроби, необходим общий знаменатель (то есть одинаковый). Как находить общий знаменатель можно посмотреть здесь: статья про НОД и НОК.
Таким образом, если мы захотим сложить 1/2 и 1/3, нам сначала надо будет прийти к общему знаменателю. Общий знаменатель 2 и 3 равен 6. Чтобы из 2 получилось 6, нужно умножить и числитель, и знаменатель на 3. То есть (1*3)/(2*3) = 3/6. Заметим, что мы не умножили дробь на число, а просто увеличили количество групп. Это тоже самое, что взять шоколадку, разделить её на 6 частей и взять оттуда 3 (тоже половина).
Продолжим, для того чтобы перевести 1/3 к знаменателю 6, нужно доносить и числитель и знаменатель на 2. Тогда получаем (1*2)/(3*2) = 2/6. Вот теперь мы можем сложить 3/6 и 2/6. Итоговый ответ:
Таким образом, если мы захотим сложить 1/2 и 1/3, нам сначала надо будет прийти к общему знаменателю. Общий знаменатель 2 и 3 равен 6. Чтобы из 2 получилось 6, нужно умножить и числитель, и знаменатель на 3. То есть (1*3)/(2*3) = 3/6. Заметим, что мы не умножили дробь на число, а просто увеличили количество групп. Это тоже самое, что взять шоколадку, разделить её на 6 частей и взять оттуда 3 (тоже половина).
Продолжим, для того чтобы перевести 1/3 к знаменателю 6, нужно доносить и числитель и знаменатель на 2. Тогда получаем (1*2)/(3*2) = 2/6. Вот теперь мы можем сложить 3/6 и 2/6. Итоговый ответ:
Сколько тогда съел твой друг? Всего была ж одна шоколадка, значит 1 целая или, другими словами, 6 из 6 частей. Если из 6 частей 5 было съедено тобой, то друг съел 1 часть шоколадки:
Можешь провести этот эксперимент дома, например с шоколадкой Alpen Gold, в которой 15 долек. Можешь найти 1/3 от всей шоколадки (спойлер: это будет 5 долек) и 1/5 (это будет 3 дольки). А их сумма будет следующей: 1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15 :)
Умножение дроби на дробь
Давай подумаем, что значит само по себе умножение дроби на дробь. Умножение же ведь это просто повторение определённое количество раз. Так, если у нас есть грядка, которая занимает 1/4 от общей площади огорода. И мы можем засадить семенами только её половину. Тогда нам по сути 1/4 надо разделить на 2. А разделить на 2 это то же самое, что и умножить на 1/2 (вспоминаем, что 1/2 это одна часть из двух, мы делим на две части и берём одну из них). Когда мы умножаем дробь на дробь, то числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель: 1/4 * 1/2 = (1*1)/(4*2) = 1/8. То есть наш засев составит 1 часть из 8 частей всего огорода.
Деление дроби на дробь
Хо-хо! Если ты дошёл до этого абзаца и всё понял, значит тебя ждёт самая балдёжная часть этой страницы! Потому что ничего нового по сути запоминать и понимать не надо. Когда мы хотим разделить дробь на дробь, то мы переворачиваем вторую дробь (на которую делим) и меняем знак деления между дробями на знак умножения!
Если взять тот же пример сверху: мы на самом деле так и сделали :) Мы дробь 1/4 разделили на 2. Но мы же помним, что всё, что угодно можно представить в виде дроби. То есть 2 это 2/1 (любое число при делении на 1 даёт самого себя). И вот мы 1/4 делим на 2, представляем 2 как 2/1. Внимательно смотрим за движениями рук: 1/4 : 2/1 = 1/4 * 1/2 = 1/8. Ха-ха! Согласись, ловко я тебя провела :)
Если взять тот же пример сверху: мы на самом деле так и сделали :) Мы дробь 1/4 разделили на 2. Но мы же помним, что всё, что угодно можно представить в виде дроби. То есть 2 это 2/1 (любое число при делении на 1 даёт самого себя). И вот мы 1/4 делим на 2, представляем 2 как 2/1. Внимательно смотрим за движениями рук: 1/4 : 2/1 = 1/4 * 1/2 = 1/8. Ха-ха! Согласись, ловко я тебя провела :)
