Число
С чего начиналась математика...
Давным-давно у людей появилась задача: считать свой скот. У людей того времени не было столько инструментов, как у нас сейчас. Они начали думать, как же записать эти данные. Тогда-то и появилась первая математика...
Итак, представим, что у нас есть козочки. Наша задача: их посчитать. Но у нас нет тетрадок и тем более ручки, чтобы это записать. Что мы можем найти? Как мы можем обозначить количество животных? Мы можем взять палочки! Смотрим на козочку - берём палочку, затем следующую. И так далее, пока не пересчитаем всех наших любимиц. Все палочки в наших руках - основа для непозиционной системы счисления. Как бы мы палочки не меняли местами, суть от этого не изменится. Позиция палочки не влияет на общее количество.
Система счисления - символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
Непозиционная система счисления - система, в которой значение цифры чётко определено и не зависит от её позиции в числе.
Непозиционная система счисления - система, в которой значение цифры чётко определено и не зависит от её позиции в числе.
Но что делать, если мы богаты и наших козочек немеренное количество? Вот тут на помощь людям пришли цифры и числа.
В дальнейших рассказах мы будем использовать два слова, определение которых стоит знать:
- Цифра - конструктор для числа, как буквы для слов
- Число - объединение цифр
Римские цифры
Когда палочек стало не хватать, люди начали придумывать сокращения. Например, V означало пять палочек. X - десять и так далее. Так и появился римская система счисления.
Они решили записывать количество козочек с помощью сокращений и быстрого счёта. Вот у нас есть одиннадцать козочек. Мы можем записать так: IIIIIIIIIII или так XI. В этом случае, если цифра написана справа, то она добавляется, а если слева, то вычитается. XI будет равно одиннадцати (десять прибавить один), а IX - девяти (десять отнять один).
Она далековата от нашей нынешней системы счётов. Но мы всё ещё можем наблюдать римские цифры, если посмотрим на циферблат каких-нибудь старых раритетных часов.
Но согласитесь, нудно каждый раз складывать или вычитать числа в голове. Хочется получить результат (число) прямо здесь и сейчас.
Они решили записывать количество козочек с помощью сокращений и быстрого счёта. Вот у нас есть одиннадцать козочек. Мы можем записать так: IIIIIIIIIII или так XI. В этом случае, если цифра написана справа, то она добавляется, а если слева, то вычитается. XI будет равно одиннадцати (десять прибавить один), а IX - девяти (десять отнять один).
Она далековата от нашей нынешней системы счётов. Но мы всё ещё можем наблюдать римские цифры, если посмотрим на циферблат каких-нибудь старых раритетных часов.
Но согласитесь, нудно каждый раз складывать или вычитать числа в голове. Хочется получить результат (число) прямо здесь и сейчас.
и вот тут пришли они
Позиционные системы счисления
За III тысячи лет до нашей эры люди началаи использовать десятичную систему счисления. Это означало, что в записи использовалось десять различных цифр. И вот она, наша, родненькая! Теперь ваш автор с лёгкостью может использовать привычные арабские цифры :)
Десятичная система счисления использует всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Она является позиционной. То есть когда составляется число, позиция каждой цифры важна, в отличие от непозиционной системы счисления. В основе нашей системы счисления лежит десять. Каждый разряд отвечает за десятки, сотни, тысячи и так далее. Например, 123 - это сто (десять десятков) двадцать (два десятка) три (единицы).
В какой-то момент люди думали уйти в шестидесятеричную систему счисления. Но я пожалуй оставлю это для самостоятельного изучения.
Десятичная система счисления использует всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Она является позиционной. То есть когда составляется число, позиция каждой цифры важна, в отличие от непозиционной системы счисления. В основе нашей системы счисления лежит десять. Каждый разряд отвечает за десятки, сотни, тысячи и так далее. Например, 123 - это сто (десять десятков) двадцать (два десятка) три (единицы).
В какой-то момент люди думали уйти в шестидесятеричную систему счисления. Но я пожалуй оставлю это для самостоятельного изучения.
Отрицательные числа
Теперь представим, что мы посчитали наших козочек, а тут пришёл наш друг и попросил одолжить ему одну красавицу.
Как же нам записать это? "Одолжили 1 козочку"? "Временно отсутствует 1 козочка"?
Можно записать как -1 (минус одна) козочка. А если одоложили 2 козочки, то запысвается это как -2 козочки. Минус - это по сути долг.
Когда мы будем обсуждать координатную прямую (если не известно это определение, то это пока что), я буду сравнивать это с движением. Движение назад - мы уходим в минус, движение вперёд - мы уходим в плюс.
Как же нам записать это? "Одолжили 1 козочку"? "Временно отсутствует 1 козочка"?
Можно записать как -1 (минус одна) козочка. А если одоложили 2 козочки, то запысвается это как -2 козочки. Минус - это по сути долг.
Как зимой у нас отрицательное количество градусов (холодно). И мы надеемся, что весна и лето компенсируют нам тёплой (положительной) погодой :)
Когда мы будем обсуждать координатную прямую (если не известно это определение, то это пока что), я буду сравнивать это с движением. Движение назад - мы уходим в минус, движение вперёд - мы уходим в плюс.
основные действия над числами
Сложение, вычитание
Числа без дела, как козочки без прогулки - скучно. Числа и данные надо как-то обрабатывать. Для этого люди придумали 4 основные операции над числами:
Рассмотрим первые два поближе. Сложение - добавление одного числа к другому. Например, 2 конфетки + 3 конфетки = 5 конфеток. Для того чтобы складывать, необходимо знать первые 10 цифр. И иногда используют палочки для счёта, поэтому если вы не умеете считать, то можно начать с них. Результатом сложения называют суммой.
Если счёт идёт на числа больше, чем 9, начинается переход к десяткам. То есть 1 десяток и ещё сколько-то там единиц. Когда у вас 9 десятков и 9 единиц, то счёт переходит на сотни. Например, 729 - 7 сотен 2 десятка и 9 единиц.
Вычитание - когда мы уменьшаем количество. Например, у нас есть 9 козочек, отдали одну козочку другу, осталось на 1 меньше, то есть 8. Если записывать с помощью математических выражений, то это выглядит так: 9 - 1 = 8.
Если из текущего разряда ничего уже вытащить нельзя, то взаимствуется десятка из соседнего слева разряда. Пример: 22 - 3 = 20 - 1 = 19. Результатом вычитания называют разностью.
Ниже прикреплён файлик с задачками, разобранными мною, и для самостоятельной практики.
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
Рассмотрим первые два поближе. Сложение - добавление одного числа к другому. Например, 2 конфетки + 3 конфетки = 5 конфеток. Для того чтобы складывать, необходимо знать первые 10 цифр. И иногда используют палочки для счёта, поэтому если вы не умеете считать, то можно начать с них. Результатом сложения называют суммой.
Если счёт идёт на числа больше, чем 9, начинается переход к десяткам. То есть 1 десяток и ещё сколько-то там единиц. Когда у вас 9 десятков и 9 единиц, то счёт переходит на сотни. Например, 729 - 7 сотен 2 десятка и 9 единиц.
Вычитание - когда мы уменьшаем количество. Например, у нас есть 9 козочек, отдали одну козочку другу, осталось на 1 меньше, то есть 8. Если записывать с помощью математических выражений, то это выглядит так: 9 - 1 = 8.
Если из текущего разряда ничего уже вытащить нельзя, то взаимствуется десятка из соседнего слева разряда. Пример: 22 - 3 = 20 - 1 = 19. Результатом вычитания называют разностью.
Ниже прикреплён файлик с задачками, разобранными мною, и для самостоятельной практики.
Список полезных материалов: